035期单双中特:角平分线的课件

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  从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。

  教学目标

  【知识与技能】

  1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.

  2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.

  【过程与方法】

  1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.

  2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.

  【情感 、态度与价值观】

  1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.

  2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.

  重点难点

  【重点】

  角平分线的性质定理及其逆定理.

  【难点】

  理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.

  教学过程

  一、创设情境,导入新知

  师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?

  生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.

  生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.

  师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.

  作法:

  1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).

  2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).

  3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线.

  师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”

  教师边操作边讲解:

  用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?

  学生操作.

  师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?

  生:是这个角的平分线.

  师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?

  生:一样长.

  师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.

  二、共同探究,获取新知

  教师多媒体出示:

  操作:

  (1)折出如上图中的折痕PD、PE;

  (2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.

  问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?

  学生思考后回答.

  问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:

  图形已知事项由已知事项推出的事项

  OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、EPD=PE

  (推证定理1)

  问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:

  图形已知事项由已知事项推出的事项

  DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC

  问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.

  (推证定理2)

  三、练习新知,加深理解

  师:下面我们接着来探讨上面的问题3.

  教师多媒体出示:

  (1)∵AD平分∠BAC,

  DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)

  ∴DC=DE.( )

  (2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)

  ∴点D在∠BAC的平分线上.( )

  学生思考后抢答,教师板书.

  第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.

  教师多媒体出示:

  【例1】 已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

  求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)

  学生思考后交流讨论.

  教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

  证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)

  ∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)

  又∵AC=AC',(已知)

  ∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)

  ∴∠ABC=∠ABC'.

  (2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',

  ∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)

  即∠BAC=∠ABC'.

  ∵BC⊥AC,BC'⊥AC',

  ∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)

  【例2】 已知:△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.

  求证:AP平分∠BAC.

  证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.

  ∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)

  ∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)

  同理PN=PM.

  ∴PN=PQ.(等量代换)

  ∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

  四、课堂小结

  师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?

  学生回答,教师点评.

  教学反思

  本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.

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