精准合数单双中特公式:南京工业大学《高等数学》ch2-1-PPT文档资料

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第二章 导数与微分

\f第一节 导数的概念

\f第一节 导数的概念

? ? ? ? ?

一、引例 二、导数的概念 三、左导数、右导数 四、可导与连续的关系 五、内容小结

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\f一、引例

1.变速直线运动中的瞬时速度 某物体作变速直线运动,已知位置函数S=S(t), 求 t0 时刻的瞬时速度。

解:

S 已知匀速直线运动中: V = t

变速直线运动的处理办 法:

? ? ?? ? ? ? ?; 1在时段 t , t + ? t 内,取 ? S = S t + ? t - S t 0 0 0 0

? ? ?? S t + ? t - S t ? S 0 0 ? ? ? ? 2 计算 t , t + ? t 内的平均速度 V = = ; 0 0 ? t ? t

?? 3 0 t 末的瞬时速度为 ? ? ? ? ? S S t + ? t - S t 0 0

V = lim = lim t 0 ? t ? 0 t ? 0 ? t ? ? t

。

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\f2. 曲线的切线斜率

曲线 C 在 M 点处的切线 :y ? f ( x )

y

割线 M N 的极限位置 M T ?时) (当? ?

切线 MT 的斜率

y? f (x ) N

C M

T

o ? ?x 0

x x

k ? tan ? ? lim tan ?

f( x ) ? f( x ) 0 ?? x ? x0 割线 M N 的斜率 tan f( x ) ? f( x ) 0 k? lim x ? x

x ? x 0

0

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?? ?

\f二、导数的概念

定义 设 对应 x 点的 ? x y = f (x)在 x 点某邻域内有定义, 0 0

? ? ? ? 有 ? y = f x + ? x - f x 0 0 ? y 若 lim 存在,则称其为 f ( x ) 在 x 点的导 0 ? x ? 0 ? x

d y ? ? 记作 f( x )或 y , 0 x = x 0 d x x = x 0

? ?? ? f x + ? x - f x 0 0 ? 即 f ( x ) = lim 0 ? x ? 0 ? x

此时亦称 f( x ) 在 x 点可导。反之,称为不 可导。 0

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\f? ? ? ? f x + ? x - f x ? ? 若 ? x ? a , b , 总有 lim 存在 ? x ? 0 ? x d y ? ? 则称其为 导函数。 记作 f ( x )或 y , d x

导函数定义:

? 注: 1 导数是常数,而导函数 是一个新的函数

? ? ? 2 导数是导函数在某点的 值,即 f ( x ) = f ( x ) ; 0 x = x

0

? ? ?? ( )? f x ? ? f x 0 0 ? ?; 3 运算实质 lim = f x 0 ? 0 () ()

?

? 4 导数定义的等价形式: f( x ) - f( x ) 0 f? ( x ) = lim ; 0 x ? x 0 x - x 0

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\f导数的几何意义

y

y? f (x )

M

T

在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率为 曲线 y? f (x ) C ? tan ? ? f ( x ) 0 o ? 若 f? ( x ) ? 0 ,曲线过 (x0 , y0 ) 上升; 0

x0

x

( x ) ? 0 ,曲线过 (x0 , y0 ) 下降; 若 f? 0

若 f? ( x ) ? ? , 切线与 x 轴垂直 . 0

y

若 f? ( x ) ? 0 ,切线与 x 轴平行, x 0 称为驻点; 0

y

( x0 , y0 )

o

x0

?x

f? ( x ) ? ? 时 ,曲线在点 (x0 , y0 ) 处的 0

o x0 ? ? y ? f ( x )( x ? x ) 切线方程: y 0 0 0 1 ? ? y ? ( x ? x )( f ( x ) ? 0 ) 0? 0 法线方程: y 0 f? ( x ) 0

x

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\r

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