060期单双中特:第二章时域离散信号和系统的频域分1

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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 本章主要内容

? 序列的傅里叶变换的定义和性质

? 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 ? 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号的傅里叶变换之间 的关系 ? 序列的Z变换 ? 利用Z变换分析信号和系统的频域特性

\f2.1 引言

信号和系统的两种分析方法: 时域分析方法和频率分析方法 (1)模拟信号和系统 信号用连续变量时间t的函数表示; 系统则用微分方程描述;

信号和系统的频域分析方法:拉普拉斯变换和傅里叶变换;

(2)时域离散信号和系统

信号用序列表示;

系统用差分方程描述; 频域分析的方法是:Z变换或傅里叶变换;

\f2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义

X (e j? ) ?

n ???

?

?

x (n )e ? j? n

称为序列x(n)的傅里叶变换,用FT(Fourier Transform) 缩写字 母表示。 FT成立的充要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件, 即满足下 式:

n ???

?

?

x(n) ? ?

\f2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质

求FT的反变换, 用e jωm乘上式两边, 并在-π~π内对ω进行 ? ? ? 积分, 得到 j? j? m ? j? n j? n

? ?? XX((ee )e)e

? ? ??

j?

j?m

d? ? ? ? ? [ ? x(n ) e ] e d? ? ? j ? n j ? m ? ? d? ? ?? x( n )e e d? n ??? ?? ? ? ? n ? ?? ? ? ? ? j? ( m ?n ) ? ? ?? xx (( nn )? ej? ( m?n ) d d ? ? ) e ? ? ?? ??? n ???

n ? ??

??

?

?

e

j? ( m ? n )

d? ? 2?? (n ? m)

因此

11 ? ? j? j? j?m j? m x( n ) ? X ( e ) e x(n ) ? ??? X (e )e d? d? 傅里叶 变换对 22 ?? ??

?

X (e j? ) ?

n ???

?

?

x (n )e ? j? n

\f2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质

[例]:设x(n)=RN(n) , 求x(n)的FT

X ( e j? ) ? ? RN ( n )e ? j?n ? ? e ? j?n

n ? ?? n ?0

?

N ?1

1 ? e ? j?N ? 1 ? e ? j?

?e

? j ( N ?1 )? 2

sin(?N ) 2 sin ? 2

设N=4, 幅度与相位随 ω变化曲线如下图所示

\f2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质 2.2.2 序列傅里叶变换的性质

1. FT的周期性 在FT定义式中, n取整数, 因此下式成立

X (e j? ) ?

结论:

n ???

?

?

x (n )e ? j (? ?2? M ) n , M为整数

(1) 序列的傅里叶变换是频率ω的连续周期函数,周期是2π。 (2) X(ejω)可展成傅里叶级数, x(n)是其系数。 X(ejω)表示了信 号在频域中的分布规律。 (3) 在ω=0,±2π,±4π…表示信号的直流分量,在ω=(2M+1)π

时是最高的频率分量。一般只分析信号在一个周期的FT

\f2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质

2. 线性

j? j? j? j? 设: X 1 ( e ) ? FT [ x ( n )], X ( e ) ? FT [ x2x (2 n \r

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