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材料力学

第九章 压杆稳定

9.1 引言

9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 9.3 中、小柔度压杆的临界应力

9.4 压杆的稳定条件

9.5 压杆的合理设计 9.6 用能量法求压杆的临界载荷

\f9.1 引言

稳定性——结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态 的能力。

F

F

F>=Fcr

当轴向压力超过一定数值时,压 杆的平衡由稳定向不稳定转变,这 个载荷称为临界载荷 Fcr

Q

F小于Fcr时,稳定平衡。 给杆件一个横向扰动,杆件仍能恢复 原来的平衡状态。(轴向平衡)

F大于等于Fcr时,不稳定平衡。 杆件既能在轴线上达到平衡,又能 在弯曲状态下达到平衡(F=Fcr)。 给杆件一个横向扰动,杆件由轴向 平衡转向弯曲状态,从而造成失稳。

F

F

F

\f9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷

一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷

如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。 假设力F已经达到临界值Fcr,且压杆处于弯曲平衡状态,现在 看此时杆的挠曲线满足什么条件。 2 d y I 2 ?M y ?x???F 考察C点有: E d x

y

因为是球铰,杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。 即上式中的I 应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有: C Imin=b3h/12 (h>b) B F l x 令: y

A x

F k ? EI

2

\f9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷 则压杆的平衡微分方程可化为:

d2 y 2 ? k y?0 2 dx

上式通解为:

齐次二阶常微分方程

y ? A sin kx ? B cos kx

A ?0?B ?1?0 ? ? A sin kl ?B cos kl ?0 ?

0 1 ?0

即:

?? ?? 0 ? y l? 0 由球铰的位移边界条件有: y A,B为待定常数。

代入通解:

方程有非零解的条件是:

sinkl coskl

sin kl ? 0

\f9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷

n ? ? ? n ? 0 , 1 ,2 , ? 上式的解为: k? l 2 2 F n ? EI 2 又: k ? 所以有: F ? ? ? 2 n ? 0 , 1 ,2 , ? l EI 2 ? EI 最小值即为临界载荷: F cr ? 2 l

两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷 对应的压杆的挠曲线为:

sin kl ? 0

?? y x? A sin kx ? A sin l 屈曲模态Buckling mode

? x

\f9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷

二、一端固定,一端球铰细长压杆的临界载荷

如图一端固定一端球铰的细长压杆,设在临界 载荷F作用下处于微弯平衡,考察点(x, y)有:

x

F B

FBy

?? ? ? M x ? F l ? x ? Fy B y

代入挠曲线微分方程有:

2 l ?x y ??F d y F B y? ? 2 d x E I

li ?0.7l

y

令:

l

x

C

k2 ? F EI

2 l? x ? d y 2 F B y? 有: ? k y? 2 d x E I

y

A

F By 其通解为: y ? ? A sin kx ? B cos kx ? ? l ? x F

\f9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷

F By ? y ? A sin kx ? B cos kx ? ? l ? x F F d y y 所以有: ? ? ? A k c o s k x ? B k s i n k x ?B d x F

由位移边界条件有:

x

F B

FBy

? ? ? ? ?\r

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